List of top Questions asked in IISER

A spherical concave mirror of focal length 10 cm and a double convex lens of focal length 5 cm are arranged on the common principal axis as shown in the figure. A small object is placed on the principal axis between the focal points $F_1$ and $F_2$ of the mirror and the lens, respectively. If two real and mutually inverted images are formed by the lens at the same location on the principal axis, what is the distance of the object from the mirror on the principal axis?

A sphere and a cube of equal masses on a horizontal frictionless floor, are confined between two vertical walls, as shown in the figure. The cube is attached to the wall by a massless spring. At the equilibrium position of the spring, the sphere just touches the cube. The cube is moved towards the left by a small amount $\ell$ from its equilibrium position, compressing the spring and is released at $t = 0$. The system keeps returning to its initial configuration as that of $t = 0$ with a time period $T$. If all the collisions are elastic, which of the following statements is correct?

निम्नलिखित अष्टफलकीय संकुलों में किस का 'केवल-प्रचक्रण' (spin only) चुम्बकीय आघूर्ण सर्वाधिक होगा?

निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प स्तम्भ I में दिए गए अंगों को स्तम्भ II में विवरणित उनके संवहनी तंत्र की व्यवस्था से मेल करता है?

क्षमताओं $\eta_1$ एवं $\eta_2$ वाले दो कार्नो इंजनों का विचार करें। पहला इंजन एक ऊष्मा भण्डार $A$ से ऊष्मा $Q_1$ ले कर एक ऊष्मा भण्डार $B$ में ऊष्मा $Q_2$ निर्गत करता है। दूसरा इंजन $B$ से ऊष्मा $Q_2$ लेता है और एक ऊष्मा भण्डार $C$ में ऊष्मा $Q_3$ निर्गत करता है। यदि $Q_1 > Q_2 > Q_3$ हों, तो कार्नो इंजनों के इस युग्म की कुल क्षमता क्या होगी?

एकसमान रूप से वितरित धनात्मक पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$, $\sigma$ और $2\sigma$ वाली तीन सीमारहित समतल चादरें चित्र में प्रदर्शित व्यवस्था के अनुसार एक दूसरे के समानांतर $d$ दूरी पर रखी हुई हैं। एक $d/2$ त्रिज्या वाले गोलीय गाउसीय पृष्ठ $S$ का केन्द्र मध्य में रखी हुई चादर पर स्थित है। गाउसीय पृष्ठ $S$ के बायें (Left) अर्धगोले से गुजरने वाले वैद्युत फ्लक्स $\Phi_L$ और दायें (Right) अर्धगोले से गुजरने वाले वैद्युत फ्लक्स $\Phi_R$ के बारे में निम्न में से कौन सा कथन सही है?

एक जार एकल परमाणु वाली अक्रिय गैसों $A$ और $B$ से भरा हुआ है, जिनके कुल द्रव्यमान क्रमशः $M_A$ और $M_B$ हैं। $A$ का मोलर द्रव्यमान $B$ के मोलर द्रव्यमान का दुगुना है। यदि जार तापमान $T$ पर रखा हो तो जार पर पड़ रहे कुल दबाव और गैस $A$ के द्वारा जार पर डाले जा रहे आंशिक दाब का अनुपात क्या होगा?

तीन संख्याएं: (प्रोटॉनों की संख्या, न्यूट्रॉनों की संख्या, त्रिज्या) एक नाभिक की पहचान बताती हैं। $(1, 0, r_1)$ और $(4, 4, r_2)$ से निरूपित दो नाभिकों के लिये $\frac{r_1}{r_2}$ का मान क्या होगा?

प्रकाश विद्युत प्रभाव के किसी प्रायोगिक अध्ययन में कार्य फलन $\phi_0$ वाले एक धातु का प्रयोग किया जा रहा है। आपतित फोटॉन का वह लघुतम तरंगदैर्ध्य क्या होगा जिससे कि द्रव्यमान $m$ वाले उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन का दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य, आपतित फोटॉन के दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य के समान हो जाए? [$h$ प्लांक का स्थिरांक है, $c$ प्रकाश का वेग है और $\phi_0 \ll mc^2$]

एक समतल सतह पर अभिलम्बतः आपतित, संचरित क्षमता $P$ वाले, फोटॉनों के एकवर्णी किरण पुंज का विचार करें। इस आपतित पुंज का 10% भाग अवशोषित हो जाता है, 10% भाग पारगमित हो जाता है और शेष भाग सतह के द्वारा परावर्तित हो जाता है। यदि प्रकाश का वेग $c$ हो तो इस सतह पर पुंज के द्वारा कितना बल लग रहा है?

एक कण का त्वरण निम्नलिखित समीकरण से व्यक्त होता है: \[ \frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2} = \alpha \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^7} + \beta \frac{d\mathbf{x}}{dt} \] जहां $\mathbf{x}$ स्थिति और $t$ समय को दर्शाते हैं। निम्न में से कौन से सम्बन्ध $\alpha$ और $\beta$ की सही विमाएं दर्शाते हैं?

प्रारम्भिक त्रिज्या $R_0$ वाली एक लंबी परिनालिका एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ में ऐसे रखी गयी है कि इसका अक्ष चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में है। यह परिनालिका एक बंद परिपथ का हिस्सा है जिसमें प्रारंभ में कोई विद्युत धारा प्रवाहित नहीं हो रही है। यदि परिनालिका की त्रिज्या एकसमान दर से बढ़नी शुरू हो जाए तो परिनालिका में मौजूद चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B_{in}$ एवं उससे संबद्ध चुंबकीय ऊर्जा $U_{in}$ में क्या बदलाव आयेगा?

किसी समय $t$ पर द्रव्यमान 1 kg वाले एक पिण्ड की स्थिति $\mathbf{r} = t \hat{\mathbf{i}} + \hat{\mathbf{j}} + 2 t^2 \hat{\mathbf{k}}$ से निरूपित की जाती है, जहां $t$ सेकंडों में दिया गया है और प्रत्येक गुणांक अपनी उचित इकाइयों में इस तरह से दिये गये हैं कि $\mathbf{r}$ मीटर की इकाई में निरूपित हो सके। केन्द्र के सापेक्ष मापे गये पिण्ड के कोणीय संवेग का घटक, सदिश $(\hat{\mathbf{i}} + \hat{\mathbf{j}})$ के अनुदिश, $\text{kg m}^2\text{s}^{-1}$ की मापन इकाई में कितना होगा?

एक ग्रह किसी तारे के केन्द्र के परितः, पूर्ण रूप से तारे के गुरुत्वीय प्रभाव के अधीन हो कर, आवर्तकाल $T$ वाले वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा कर रहा है। कल्पना करें कि तारे एवं ग्रह के बीच की दूरी आधी हो जाती है। साथ ही तारे एवं ग्रह की निजी त्रिज्याएँ भी इस तरह से आधी कर दी जाती हैं कि उनके निजी घनत्व (जो कि एकसमान रूप से वितरित हैं) अपरिवर्तित रहते हैं। इस स्थिति में ग्रह के नए कक्ष का आवर्तकाल क्या होगा?

एक अनूठी गोलाकार जेलीफिश का आयतन गुणांक $B$ है। जब जेलीफिश समुद्र की ऊपरी सतह (गहराई $d = 0$) पर हो तो उसकी त्रिज्या $R$ है। समुद्र के भीतर $d$ ($d \gg R$) की गहराई पर जाने पर उसकी त्रिज्या $\Delta R > 0$ से सिकुड़ जाती है। यदि असम्पीड्य समुद्री जल का घनत्व $\rho$ हो, एकसमान गुरुत्वीय त्वरण $g$ हो और $\rho gd \ll B$, तो $\frac{\Delta R}{R}$ का मान क्या होगा?

द्रव्यमान $m_1$ व विद्युत आवेश $q$ का एक कण, एकसमान बाह्य विद्युत क्षेत्र $\mathbf{E}$ में, विरामावस्था से प्रारंभ कर $d$ दूरी $t_1$ समय में तय करता है। यदि कण का द्रव्यमान $m_2$ हो तो वही दूरी तय करने में $t_2$ समय लगता है। $\frac{t_1}{t_2}$ का अनुपात क्या होगा?

लम्बाई $L$, द्रव्यमान $m$ तथा विद्युत आवेश $q$ से आवेशित गोलक वाला एक सरल लोलक आवर्तकाल $T$ के साथ $-\hat{z}$ की दिशा में स्थित एकसमान गुरुत्व के प्रभाव में दोलन कर रहा है। इस लोलक को एकसमान विद्युत क्षेत्र $|E|\hat{n}$ (जहां $\hat{n}$ दोलन-तल में एक इकाई सदिश है) में स्थापित करने पर दोलन का आवर्तकाल घट जाता है। निम्न में से कौन सा कथन गलत है?

10 cm की फोकल दूरी वाला एक अवतल गोलीय दर्पण एवं 5 cm की फोकल दूरी वाला एक उभयोत्तल लेन्स अपने पारस्परिक मुख्य अक्ष पर चित्र में दर्शाये व्यवस्था के अनुसार संयोजित हैं। इस मुख्य अक्ष पर किसी बिम्ब को दर्पण एवं लेन्स के फोकस बिन्दुओं, क्रमशः $F_1$ और $F_2$ के बीच रखा गया है। यदि इस स्थिति में लेन्स के द्वारा दो वास्तविक एवं परस्पर उल्टे प्रतिबिम्ब मुख्य अक्ष के एक ही बिन्दु पर बनते हैं तो बिम्ब की दर्पण से दूरी कितनी होगी?

समान द्रव्यमान वाले एक गोले और एक घन को दो ऊर्ध्वाधर दीवारों के बीच एक घर्षणरहित क्षैतिज सतह पर चित्र में प्रदर्शित व्यवस्था के अनुसार रखा गया है। घन एक भार रहित स्प्रिंग की सहायता से एक दीवार से जुड़ा हुआ है। स्प्रिंग की साम्यावस्था में गोलक घन को स्पर्श करता है। इस घन को अपनी साम्यावस्था से बाँयी दिशा में एक लघु दूरी $\ell$ से स्प्रिंग को संपीड़ित करते हुये विस्थापित किया जाता है और $t = 0$ पर मुक्त कर दिया जाता है। यह समूचा प्रबन्धन अपनी $t = 0$ वाली अवस्था में आवर्तकाल $T$ के साथ पुनः लौटता रहता है। यदि सारे संघट्ट प्रत्यास्थ हों तो निम्नलिखित कथनों में से कौन सा कथन सही है?

फलन f : R $\rightarrow$ R निम्न द्वारा परिभाषित है:
f(x) = |x − 2| + 3|x − 1| + ||x − 2| − 1| .
ऐसे कितने बिन्दु हैं जिन पर f अवकलनीय नहीं है?

दो डब्बों B1 और B2, प्रत्येक में 3 लाल और 4 काली गेंदें हैं। B1 से एक गेंद यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। यदि वह गेंद लाल है तो B2 में 4 लाल गेंदें और डाल दी जाती हैं, अन्यथा B2 में 3 काली गेंदें और डाल दी जाती हैं। इसके बाद B2 में से एक गेंद यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। यदि यह गेंद लाल है तो इस बात की सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है कि B1 से चुनी गई गेंद भी लाल थी?

मान लीजिए कि n = 2026 है। यदि 49n + 41n + 10n को 100 से भाग दें तो शेषफल कितना होगा?

मान लीजिए कि a1, a2, a3, . . . धनात्मक पूर्णांकों की एक गुणोत्तर श्रेणी है। यदि a1 = 3 है, तथा सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए an+2 − 2an = an+1 है, तो a1 + a2 + a3 + a4 + a5 का मान क्या होगा?

एक 2×2 आव्यूह A जिसके अवयव वास्तविक संख्याएं हैं, के लिए गुणनफल AA · · · A (m times), जबकि m एक धनात्मक पूर्णांक है, को Am द्वारा निरूपित कीजिए। मान लीजिए कि x0 = 0, x1 = 1 है तथा सभी n $\ge$ 2 के लिए xn = xn−1 + xn−2 है। परिभाषित कीजिए:
\[ A_n = \begin{bmatrix} x_{n+1} & x_n \\ x_n & x_{n-1} \end{bmatrix}, \text{ सभी } n \ge 1 \text{ के लिए।} \]
निम्न में से कौन सा कथन सभी m $\ge$ 3 के लिए सत्य है?

वास्तविक संख्याओं a तथा b के लिए निम्न फलन f : R $\rightarrow$ R पर विचार कीजिए:
\[ f(x) = \begin{cases} -ax - b & \text{यदि } x < -1, \\ 5x + 1 & \text{यदि } -1 \le x \le 1, \\ a^2x + 3b & \text{यदि } x > 1. \end{cases} \]
ऐसे कितने युग्म (a, b) संभव हैं जिनके लिए f सभी बिंदुओं पर सतत है?