Question

एक ग्रह किसी तारे के केन्द्र के परितः, पूर्ण रूप से तारे के गुरुत्वीय प्रभाव के अधीन हो कर, आवर्तकाल \(T\) वाले वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा कर रहा है। कल्पना करें कि तारे एवं ग्रह के बीच की दूरी आधी हो जाती है। साथ ही तारे एवं ग्रह की निजी त्रिज्याएँ भी इस तरह से आधी कर दी जाती हैं कि उनके निजी घनत्व (जो कि एकसमान रूप से वितरित हैं) अपरिवर्तित रहते हैं। इस स्थिति में ग्रह के नए कक्ष का आवर्तकाल क्या होगा?

• A. \(T\)
• B. \(2T\)
• C. \(\frac{T}{2}\)
• D. \(\frac{T}{4}\)

Hint:

यदि कक्षीय त्रिज्या और केंद्रीय पिंड की वास्तविक त्रिज्या दोनों को समान अनुपात में बदला जाए और घनत्व नियत रहे, तो आवर्तकाल हमेशा अपरिवर्तित रहता है।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: प्रश्न को समझना।
एक ग्रह तारे के चारों ओर आवर्तकाल $T$ से परिक्रमा कर रहा है। कक्षीय दूरी आधी की जाती है और तारे की त्रिज्या भी आधी (घनत्व स्थिर) की जाती है। नया आवर्तकाल चाहिए।
Step 2: केप्लर सूत्र।
वृत्ताकार कक्षा का आवर्तकाल $T=2\pi\sqrt{\dfrac{R^3}{GM}}$, जहाँ $M$ तारे का द्रव्यमान।
Step 3: द्रव्यमान पर त्रिज्या का असर।
$M=\dfrac{4}{3}\pi r_s^3\rho$; घनत्व स्थिर रखते हुए त्रिज्या आधी होने पर $M'=\dfrac{M}{8}$।
Step 4: कक्षीय दूरी।
कक्षीय दूरी आधी: $R'=\dfrac{R}{2}$, अतः $(R')^3=\dfrac{R^3}{8}$।
Step 5: नए आवर्तकाल की गणना। \[ T'=2\pi\sqrt{\frac{R^3/8}{G(M/8)}}=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}. \]
Step 6: निष्कर्ष।
$\dfrac{1}{8}$ ऊपर और नीचे कट जाते हैं, इसलिए $T'=T$ अपरिवर्तित रहता है।
\[ \boxed{\text{$T$}} \]