Question

किसी समय \(t\) पर द्रव्यमान 1 kg वाले एक पिण्ड की स्थिति \(\mathbf{r} = t \hat{\mathbf{i}} + \hat{\mathbf{j}} + 2 t^2 \hat{\mathbf{k}}\) से निरूपित की जाती है, जहां \(t\) सेकंडों में दिया गया है और प्रत्येक गुणांक अपनी उचित इकाइयों में इस तरह से दिये गये हैं कि \(\mathbf{r}\) मीटर की इकाई में निरूपित हो सके। केन्द्र के सापेक्ष मापे गये पिण्ड के कोणीय संवेग का घटक, सदिश \((\hat{\mathbf{i}} + \hat{\mathbf{j}})\) के अनुदिश, \(\text{kg m}^2\text{s}^{-1}\) की मापन इकाई में कितना होगा?

• A. \(\frac{1}{\sqrt{2}}(4t - 2t^2)\)
• B. \(\frac{1}{\sqrt{2}}(4t + 6t^2)\)
• C. \(4t - 2t^2\)
• D. \(4t + 6t^2\)

Hint:

हमेशा याद रखें कि किसी भी घटक को ज्ञात करने से पहले लक्ष्य सदिश को इकाई सदिश (Unit Vector) में परिवर्तित करना अनिवार्य है, अन्यथा परिमाण गलत प्राप्त होगा।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: प्रश्न को समझना।
$1$ kg पिंड की स्थिति $\vec{r}=t\hat{i}+\hat{j}+2t^2\hat{k}$ दी है। केंद्र के सापेक्ष कोणीय संवेग (angular momentum) का $(\hat{i}+\hat{j})$ दिशा में घटक चाहिए।
Step 2: वेग निकालना।
अवकलन से $\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=\hat{i}+4t\hat{k}$।
Step 3: कोणीय संवेग सूत्र।
$\vec{L}=m(\vec{r}\times\vec{v})$, यहाँ $m=1$ kg।
Step 4: सदिश गुणनफल। \[ \vec{L}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ t & 1 & 2t^2 \\ 1 & 0 & 4t \end{vmatrix}=4t\,\hat{i}-2t^2\,\hat{j}-\hat{k}. \]
Step 5: दिशा का इकाई सदिश।
$\hat{u}=\dfrac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt2}$।
Step 6: घटक निकालना। \[ L_u=\vec{L}\cdot\hat{u}=\frac{4t(1)+(-2t^2)(1)}{\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}(4t-2t^2). \]
\[ \boxed{\text{$\frac{1}{\sqrt{2}}(4t - 2t^2)$}} \]