Question

प्रकाश विद्युत प्रभाव के किसी प्रायोगिक अध्ययन में कार्य फलन \(\phi_0\) वाले एक धातु का प्रयोग किया जा रहा है। आपतित फोटॉन का वह लघुतम तरंगदैर्ध्य क्या होगा जिससे कि द्रव्यमान \(m\) वाले उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन का दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य, आपतित फोटॉन के दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य के समान हो जाए? [\(h\) प्लांक का स्थिरांक है, \(c\) प्रकाश का वेग है और \(\phi_0 \ll mc^2\)]

• A. \(\frac{h}{mc} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{2\phi_0}{mc^2}} \right)^{-1}\)
• B. \(\frac{h}{mc} \left( 1 - \sqrt{1 - \frac{2\phi_0}{mc^2}} \right)^{-1}\)
• C. \(\frac{h}{mc} \left( 1 - \sqrt{1 - \frac{\phi_0}{mc^2}} \right)^{-1}\)
• D. \(\frac{h}{mc} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{\phi_0}{mc^2}} \right)^{-1}\)

Hint:

न्यूनतम तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए द्विघात समीकरण में हमेशा धनात्मक (+) चिह्न लिया जाता है क्योंकि तरंगदैर्ध्य और \(x = 1/\lambda\) एक दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: प्रश्न को समझना।
कार्य फलन $\phi_0$ वाली धातु पर फोटॉन गिरता है। उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन का दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य (de Broglie wavelength) आपतित फोटॉन के तरंगदैर्ध्य के बराबर हो, इस हेतु लघुतम फोटॉन तरंगदैर्ध्य चाहिए।
Step 2: मूल सूत्र।
आइंस्टीन समीकरण $K_{max}=\dfrac{hc}{\lambda}-\phi_0$; इलेक्ट्रॉन का तरंगदैर्ध्य $\lambda_e=\dfrac{h}{\sqrt{2mK_{max}}}$। शर्त $\lambda_e=\lambda$।
Step 3: समीकरण बनाना।
$\lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2m\left(\frac{hc}{\lambda}-\phi_0\right)}}$; वर्ग करने पर $\dfrac{hc}{\lambda}-\phi_0=\dfrac{h^2}{2m\lambda^2}$।
Step 4: द्विघात रूप।
$x=\dfrac{1}{\lambda}$ रखने पर $\dfrac{h^2}{2m}x^2-hc\,x+\phi_0=0$, अर्थात $x^2-\dfrac{2mc}{h}x+\dfrac{2m\phi_0}{h^2}=0$।
Step 5: $x$ का हल। \[ x=\frac{mc}{h}\left(1\pm\sqrt{1-\frac{2\phi_0}{mc^2}}\right). \]
Step 6: लघुतम $\lambda$ चुनना।
$\lambda=\dfrac{1}{x}$ न्यूनतम होने के लिए $x$ अधिकतम, अतः धन-चिह्न लेंगे: \[ \lambda_{min}=\frac{h}{mc}\left(1+\sqrt{1-\frac{2\phi_0}{mc^2}}\right)^{-1}. \]
\[ \boxed{\text{$\frac{h}{mc} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{2\phi_0}{mc^2}} \right)^{-1}$}} \]