Question

एक कण का त्वरण निम्नलिखित समीकरण से व्यक्त होता है: \[ \frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2} = \alpha \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^7} + \beta \frac{d\mathbf{x}}{dt} \] जहां \(\mathbf{x}\) स्थिति और \(t\) समय को दर्शाते हैं। निम्न में से कौन से सम्बन्ध \(\alpha\) और \(\beta\) की सही विमाएं दर्शाते हैं?

• A. \([\alpha] = [M^0 L^7 T^{-2}], [\beta] = [M^0 L^0 T^{-1}]\)
• B. \([\alpha] = [M^1 L^6 T^{-2}], [\beta] = [M^0 L^0 T^{-3}]\)
• C. \([\alpha] = [M^0 L^6 T^{-1}], [\beta] = [M^0 L^1 T^{-2}]\)
• D. \([\alpha] = [M^0 L^7 T^{-2}], [\beta] = [M^0 L^0 T^0]\)

Hint:

विमीय विश्लेषण में केवल समान विमाओं वाले पदों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है। समीकरण के दोनों ओर के प्रत्येक स्वतंत्र पद की विमा हमेशा समान होती है।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: प्रश्न को समझना।
त्वरण-समीकरण $\dfrac{d^2\mathbf{x}}{dt^2}=\alpha\dfrac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^7}+\beta\dfrac{d\mathbf{x}}{dt}$ में $\alpha$ और $\beta$ की विमाएँ (dimensions) चाहिए। विमीय समांगता (dimensional homogeneity) से हल करेंगे।
Step 2: बाएँ पद की विमा।
त्वरण $\dfrac{d^2x}{dt^2}$ की विमा $[LT^{-2}]$ है, और हर पद की विमा इसके बराबर होनी चाहिए।
Step 3: $\alpha$ का पद।
$\dfrac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^7}$ की विमा $\dfrac{[L]}{[L^7]}=[L^{-6}]$।
Step 4: $\alpha$ निकालना। \[ [LT^{-2}]=[\alpha][L^{-6}] \implies [\alpha]=[L^7T^{-2}]=[M^0L^7T^{-2}]. \]
Step 5: $\beta$ का पद।
$\dfrac{d\mathbf{x}}{dt}$ वेग है, विमा $[LT^{-1}]$।
Step 6: $\beta$ निकालना। \[ [LT^{-2}]=[\beta][LT^{-1}] \implies [\beta]=[T^{-1}]=[M^0L^0T^{-1}]. \]
\[ \boxed{\text{$[\alpha] = [M^0 L^7 T^{-2}], [\beta] = [M^0 L^0 T^{-1}]$}} \]