Question

एक अनूठी गोलाकार जेलीफिश का आयतन गुणांक \(B\) है। जब जेलीफिश समुद्र की ऊपरी सतह (गहराई \(d = 0\)) पर हो तो उसकी त्रिज्या \(R\) है। समुद्र के भीतर \(d\) (\(d \gg R\)) की गहराई पर जाने पर उसकी त्रिज्या \(\Delta R > 0\) से सिकुड़ जाती है। यदि असम्पीड्य समुद्री जल का घनत्व \(\rho\) हो, एकसमान गुरुत्वीय त्वरण \(g\) हो और \(\rho gd \ll B\), तो \(\frac{\Delta R}{R}\) का मान क्या होगा?

• A. \(\left[ 1 - \left( 1 - \frac{\rho gd}{B} \right)^{1/3} \right]\)
• B. \(\left[ 1 - \left( 1 - \frac{\rho gd}{B} \right)^{2/3} \right]\)
• C. \(\left[ \left( 1 + \frac{\rho gd}{B} \right)^{2/3} - 1 \right]\)
• D. \(\left[ \left( 1 + \frac{\rho gd}{B} \right)^{1/3} - 1 \right]\)

Hint:

जब परिवर्तन बहुत छोटा हो (\(\rho gd \ll B\)), तब द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) का उपयोग करके सीधे \(\frac{\Delta V}{V} = 3\frac{\Delta R}{R}\) का संबंध भी प्राप्त किया जा सकता है।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: प्रश्न को समझना।
गोलाकार जेलीफिश का आयतन गुणांक (bulk modulus) $B$ है। गहराई $d$ पर बढ़े दाब से उसकी त्रिज्या $\Delta R$ घटती है। $\dfrac{\Delta R}{R}$ का सटीक मान चाहिए।
Step 2: आयतन गुणांक की परिभाषा।
$B=-V\dfrac{dP}{dV}$, जिससे $\dfrac{\Delta V}{V}=-\dfrac{\Delta P}{B}$।
Step 3: गहराई पर दाब।
द्रवस्थैतिक दाब वृद्धि $\Delta P=\rho g d$, अतः $\dfrac{\Delta V}{V}=-\dfrac{\rho g d}{B}$।
Step 4: नया आयतन।
सतह पर $V_0=\dfrac{4}{3}\pi R^3$; गहराई पर \[ V=V_0\left(1-\frac{\rho g d}{B}\right). \]
Step 5: त्रिज्या से जोड़ना।
नई त्रिज्या $R-\Delta R$, अतः $\left(\dfrac{R-\Delta R}{R}\right)^3=1-\dfrac{\rho g d}{B}$।
Step 6: घनमूल लेकर हल।
घनमूल लेने पर $1-\dfrac{\Delta R}{R}=\left(1-\dfrac{\rho g d}{B}\right)^{1/3}$, जिससे \[ \frac{\Delta R}{R}=1-\left(1-\frac{\rho g d}{B}\right)^{1/3}. \]
\[ \boxed{\text{$\left[ 1 - \left( 1 - \frac{\rho gd}{B} \right)^{1/3} \right]$}} \]