Question

क्षमताओं \(\eta_1\) एवं \(\eta_2\) वाले दो कार्नो इंजनों का विचार करें। पहला इंजन एक ऊष्मा भण्डार \(A\) से ऊष्मा \(Q_1\) ले कर एक ऊष्मा भण्डार \(B\) में ऊष्मा \(Q_2\) निर्गत करता है। दूसरा इंजन \(B\) से ऊष्मा \(Q_2\) लेता है और एक ऊष्मा भण्डार \(C\) में ऊष्मा \(Q_3\) निर्गत करता है। यदि \(Q_1 > Q_2 > Q_3\) हों, तो कार्नो इंजनों के इस युग्म की कुल क्षमता क्या होगी?

• A. \(\eta_1 + \eta_2 - \eta_1\eta_2\)
• B. \(\eta_1 + \eta_2 + \eta_1\eta_2\)
• C. \(\eta_1\eta_2\)
• D. \(\eta_1 + \eta_2\)

Hint:

श्रेणीक्रम में जुड़े दो इंजनों की संयुक्त दक्षता हमेशा व्यक्तिगत दक्षताओं के योग से कुछ कम होती है। सूत्र \(\eta = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1\eta_2\) को सीधे याद रखा जा सकता है।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: प्रश्न को समझना।
दो कार्नो इंजन श्रेणीक्रम में हैं: पहला $A$ से $Q_1$ लेकर $B$ में $Q_2$ देता है, दूसरा $B$ से $Q_2$ लेकर $C$ में $Q_3$ देता है। युग्म की कुल दक्षता (efficiency) चाहिए।
Step 2: दक्षता की परिभाषा।
$\eta=1-\dfrac{Q_{out}}{Q_{in}}$।
Step 3: पहला इंजन।
$\eta_1=1-\dfrac{Q_2}{Q_1} \implies \dfrac{Q_2}{Q_1}=1-\eta_1$।
Step 4: दूसरा इंजन।
$\eta_2=1-\dfrac{Q_3}{Q_2} \implies \dfrac{Q_3}{Q_2}=1-\eta_2$।
Step 5: कुल दक्षता।
पूरे तंत्र के लिए $\eta_{net}=1-\dfrac{Q_3}{Q_1}$, और $\dfrac{Q_3}{Q_1}=\dfrac{Q_3}{Q_2}\cdot\dfrac{Q_2}{Q_1}=(1-\eta_2)(1-\eta_1)$।
Step 6: सरल करना। \[ \eta_{net}=1-(1-\eta_1)(1-\eta_2)=\eta_1+\eta_2-\eta_1\eta_2. \]
\[ \boxed{\text{$\eta_1 + \eta_2 - \eta_1\eta_2$}} \]