Question

लम्बाई \(L\), द्रव्यमान \(m\) तथा विद्युत आवेश \(q\) से आवेशित गोलक वाला एक सरल लोलक आवर्तकाल \(T\) के साथ \(-\hat{z}\) की दिशा में स्थित एकसमान गुरुत्व के प्रभाव में दोलन कर रहा है। इस लोलक को एकसमान विद्युत क्षेत्र \(|E|\hat{n}\) (जहां \(\hat{n}\) दोलन-तल में एक इकाई सदिश है) में स्थापित करने पर दोलन का आवर्तकाल घट जाता है। निम्न में से कौन सा कथन गलत है?

• A. \(q\) धनात्मक है तथा \(\hat{n} = \hat{z}\)
• B. \(q\) धनात्मक है तथा \(\hat{n} = -\hat{z}\)
• C. \(q\) ऋणात्मक है तथा \(\hat{n} = \hat{z}\)
• D. \(q\) धनात्मक है तथा \(\hat{n} \cdot \hat{z} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Hint:

जब भी विद्युत क्षेत्र और गुरुत्व एक ही दिशा में (या आंशिक रूप से एक ही दिशा में) कार्य करते हैं, तो प्रभावी त्वरण बढ़ता है और आवर्तकाल घटता है। विपरीत दिशा में बल होने पर आवर्तकाल बढ़ता है।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: प्रश्न को समझना।
आवेशित गोलक वाला सरल लोलक $-\hat{z}$ दिशा के गुरुत्व में दोलन कर रहा है। एकसमान विद्युत क्षेत्र लगाने पर आवर्तकाल घट जाता है। हमें वह कथन ढूँढना है जो इस घटने के अनुकूल नहीं (अर्थात गलत) है।
Step 2: प्रभावी गुरुत्व का नियम।
$T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g_{eff}}}$, अतः $T$ घटने के लिए $g_{eff}>g$ चाहिए।
Step 3: प्रभावी त्वरण।
$\vec{g}_{eff}=-g\hat{z}+\dfrac{q|E|}{m}\hat{n}$। इसका परिमाण बढ़ने के लिए विद्युत बल का नीचे की ओर ($-\hat{z}$) घटक होना चाहिए।
Step 4: विकल्प (B) और (C)।
(B) $q>0,\ \hat{n}=-\hat{z}$: बल नीचे, $g_{eff}>g$, $T$ घटेगा (सही)। (C) $q<0,\ \hat{n}=\hat{z}$: ऋणावेश पर बल क्षेत्र के विपरीत यानी नीचे, $g_{eff}>g$, $T$ घटेगा (सही)।
Step 5: विकल्प (D)।
$q>0,\ \hat{n}\cdot\hat{z}=-\tfrac{1}{\sqrt2}$: बल का नीचे की ओर घटक है, $g_{eff}>g$, $T$ घटेगा (सही)।
Step 6: विकल्प (A) पर निर्णय।
(A) $q>0,\ \hat{n}=\hat{z}$: बल ऊपर ($+\hat{z}$), गुरुत्व के विरुद्ध, इससे $g_{eff}=g-\dfrac{q|E|}{m}<g$, अतः $T$ बढ़ेगा, घटेगा नहीं। यही गलत कथन है।
\[ \boxed{\text{$q$ धनात्मक है तथा $\hat{n} = \hat{z}$}} \]