Question

फलन f : R $\rightarrow$ R निम्न द्वारा परिभाषित है:
f(x) = |x − 2| + 3|x − 1| + ||x − 2| − 1| .
ऐसे कितने बिन्दु हैं जिन पर f अवकलनीय नहीं है?

• A. 2
• B. 1
• C. 0
• D. 3

Hint:

जब एक ही मापांक पद समीकरण में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों रूपों में समान गुणांक के साथ उपस्थित हो (जैसे यहाँ \(|x-2|\) और \(-|x-2|\)), तो वह बिन्दु अक्सर अवकलनीय बन जाता है क्योंकि उसके कोणीय प्रभाव आपस में निरस्त हो जाते हैं।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: प्रश्न को समझना।
मापांक फलन (modulus function) $f(x)=|x-2|+3|x-1|+\big||x-2|-1\big|$ के उन बिंदुओं की संख्या चाहिए जहाँ यह अवकलनीय (differentiable) नहीं है, अर्थात जहाँ तीक्ष्ण कोना (sharp corner) बनता है।
Step 2: संदिग्ध बिंदु पहचानना।
मापांक तभी मुड़ते हैं जब अंदर का व्यंजक शून्य हो: $x-2=0$, $x-1=0$, और $|x-2|-1=0$ अर्थात $x=3$ या $x=1$। संभावित बिंदु $x=1,2,3$।
Step 3: $x=2$ के पास जाँच।
अंतराल $(1,3)$ में $|x-1|=x-1$ और $|x-2|<1$ अतः $||x-2|-1|=1-|x-2|$, जिससे $f(x)=|x-2|+3(x-1)+1-|x-2|=3x-2$। यहाँ $|x-2|$ कट जाता है, इसलिए $x=2$ पर फलन रैखिक और अवकलनीय है।
Step 4: $x=1$ के पास जाँच।
$x=1$ के पास $f(x)=(2-x)+4|x-1|$ जैसा रूप बनता है, जिसमें $|x-1|$ का कोना बचता है, अतः $x=1$ पर अवकलनीय नहीं।
Step 5: $x=3$ के पास जाँच।
$x=3$ के पास $f(x)=4x-5+|x-3|$ बनता है, जिसमें $|x-3|$ का कोना बचता है, अतः $x=3$ पर अवकलनीय नहीं।
Step 6: गणना।
केवल $x=1$ और $x=3$ पर अवकलनीयता टूटती है, $x=2$ पर नहीं। अतः ऐसे बिंदु $2$ हैं।
\[ \boxed{\text{$2$}} \]