Question

एक परीक्षा में विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों के आँकड़ों पर विचार कीजिए। यदि प्रत्येक विद्यार्थी के अंकों को 2 अंकों से बढ़ा दिया जाए तो निम्न में से कौन सा कथन सत्य है?

• A. माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन नहीं बदलेगा।
• B. माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन 2 से बढ़ जाएगा।
• C. माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन 2 से बढ़ जाएगा।
• D. प्रसरण 2 से बढ़ जाएगा।

Hint:

याद रखें कि अपकिरण की मापें (जैसे माध्य विचलन, मानक विचलन, प्रसरण, परास आदि) मूल बिन्दु के परिवर्तन (जोड़ने या घटाने) से 'अपरिवर्तित' रहती हैं, परंतु पैमाने के परिवर्तन (गुणा या भाग करने) से प्रभावित होती हैं।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: मूल बिंदु परिवर्तन की बात।
हर विद्यार्थी के अंक में $2$ जोड़ना मूल बिंदु (origin) का परिवर्तन है। देखना है कि इससे विक्षेपण की मापें कैसे बदलती हैं।
Step 2: नया माध्य।
यदि नए अंक $y_i = x_i + 2$ हों, तो नया माध्य भी $\bar{y} = \bar{x} + 2$ हो जाता है।
Step 3: विचलन की गणना।
\[ y_i - \bar{y} = (x_i + 2) - (\bar{x} + 2) = x_i - \bar{x} \] यानी हर विचलन ज्यों का त्यों रहता है।
Step 4: माध्य विचलन।
चूँकि $|y_i - \bar{y}| = |x_i - \bar{x}|$, इसलिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन बिल्कुल नहीं बदलता।
Step 5: अन्य मापें।
इसी तरह माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन और प्रसरण भी मूल बिंदु बदलने से अपरिवर्तित रहते हैं, इसलिए विकल्प (B), (C), (D) गलत हैं।
Step 6: निष्कर्ष।
केवल सही कथन है कि माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन नहीं बदलेगा, विकल्प (A)।
\[ \boxed{\text{माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन नहीं बदलेगा।}} \]