Question

दो डब्बों B1 और B2, प्रत्येक में 3 लाल और 4 काली गेंदें हैं। B1 से एक गेंद यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। यदि वह गेंद लाल है तो B2 में 4 लाल गेंदें और डाल दी जाती हैं, अन्यथा B2 में 3 काली गेंदें और डाल दी जाती हैं। इसके बाद B2 में से एक गेंद यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। यदि यह गेंद लाल है तो इस बात की सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है कि B1 से चुनी गई गेंद भी लाल थी?

• A. \(\frac{35}{57}\)
• B. \(\frac{99}{257}\)
• C. \(\frac{3}{7}\)
• D. \(\frac{33}{53}\)

Hint:

सप्रतिबंध प्रायिकता की समस्याओं में हमेशा दोनों संभावित शाखाओं (paths) के लिए अलग-अलग कुल गेंद संख्या की पुनः जांच करें, क्योंकि अतिरिक्त गेंदों के योग से हर का मान बदल जाता है।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: प्रश्न को समझना।
यह सप्रतिबंध प्रायिकता (conditional probability) का प्रश्न है। दूसरी गेंद लाल मिली है, तो पहली गेंद के लाल होने की प्रायिकता बेज़ प्रमेय (Bayes' theorem) से निकालेंगे।
Step 2: प्रथम चयन की प्रायिकता।
$B_1$ में $3$ लाल, $4$ काली। अतः $P(R_1)=\dfrac{3}{7}$, $P(K_1)=\dfrac{4}{7}$।
Step 3: लाल के बाद $B_2$ की स्थिति।
यदि पहली लाल थी, तो $B_2$ में $4$ लाल और जुड़ती हैं: $7$ लाल, $4$ काली। अतः $P(R_2\mid R_1)=\dfrac{7}{11}$।
Step 4: काली के बाद $B_2$ की स्थिति।
यदि पहली काली थी, तो $B_2$ में $3$ काली और जुड़ती हैं: $3$ लाल, $7$ काली। अतः $P(R_2\mid K_1)=\dfrac{3}{10}$।
Step 5: संयुक्त प्रायिकताएँ।
अनुकूल मार्ग $=\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{7}{11}=\dfrac{3}{11}$। दूसरा मार्ग $=\dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{3}{10}=\dfrac{6}{35}$।
Step 6: बेज़ प्रमेय से उत्तर। \[ P(R_1\mid R_2)=\frac{\frac{3}{11}}{\frac{3}{11}+\frac{6}{35}}=\frac{\frac{3}{11}}{\frac{171}{385}}=\frac{105}{171}=\frac{35}{57}. \]
\[ \boxed{\text{$\frac{35}{57}$}} \]