Question

वास्तविक संख्याओं a तथा b के लिए निम्न फलन f : R $\rightarrow$ R पर विचार कीजिए:
\[ f(x) = \begin{cases} -ax - b & \text{यदि } x < -1, \\ 5x + 1 & \text{यदि } -1 \le x \le 1, \\ a^2x + 3b & \text{यदि } x > 1. \end{cases} \]
ऐसे कितने युग्म (a, b) संभव हैं जिनके लिए f सभी बिंदुओं पर सतत है?

• A. 0
• B. 1
• C. 2
• D. अनंत

Hint:

जब भी सतत फलनों में द्विघात समीकरण का निर्माण हो, तो तुरंत उसके विविक्तकर (\(D = b^2 - 4ac\)) की जांच करें।
यदि \(D < 0\) आता है, तो वास्तविक अचरों के लिए हलों की संख्या हमेशा शून्य होगी।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: सांतत्यता की शर्त।
टुकड़ों में परिभाषित यह फलन $x = -1$ और $x = 1$ संधिबिंदुओं पर सतत होना चाहिए, यानी वहाँ बाएँ और दाएँ सीमा बराबर हों।
Step 2: x = -1 पर शर्त।
बायीं ओर से $\lim(-ax-b) = a - b$ और बीच के भाग से मान $5(-1)+1 = -4$, अतः \[ a - b = -4 \Rightarrow b = a + 4 \quad (1) \]
Step 3: x = 1 पर शर्त।
बीच के भाग से $5(1)+1 = 6$ और दाहिनी ओर से $a^2 + 3b$, अतः \[ a^2 + 3b = 6 \quad (2) \]
Step 4: समीकरण जोड़ना।
(1) को (2) में रखने पर \[ a^2 + 3(a+4) = 6 \Rightarrow a^2 + 3a + 6 = 0 \]
Step 5: विविक्तकर।
\[ D = 3^2 - 4(1)(6) = 9 - 24 = -15 < 0 \]
Step 6: निष्कर्ष।
$D < 0$ होने से $a$ का कोई वास्तविक मान नहीं, इसलिए कोई भी वास्तविक युग्म $(a,b)$ संभव नहीं; उत्तर $0$ है, विकल्प (A)।
\[ \boxed{\text{0}} \]