Question

सम्मिश्र संख्याओं के तल में निम्न समुच्चयों पर विचार कीजिए:
\[ A = \left\{ \cos \left(\frac{2n\pi}{5}\right) + i\sin \left(\frac{2n\pi}{5}\right) : n \in \mathbb{Z} \right\} \] तथा
\[ B = \left\{ \cos \left(\frac{2n}{5}\right) + i\sin \left(\frac{2n}{5}\right) : n \in \mathbb{Z} \right\} \].
निम्न कथनों में से कौन सा कथन सत्य है?

• A. A परिमित है परन्तु B अपरिमित है।
• B. A परिमित है और B भी परिमित है।
• C. A अपरिमित है परन्तु B परिमित है।
• D. A अपरिमित है और B भी अपरिमित है।

Hint:

जब सम्मिश्र संख्या के कोणांक (argument) में \(\pi\) उपस्थित होता है (जैसे \(2n\pi/5\)), तो पूर्णांक मानों के लिए वह हमेशा एक परिमित समुच्चय (जैसे इकाई के मूल) बनाएगा।
परंतु यदि \(\pi\) अनुपस्थित हो (जैसे \(2n/5\)), तो वह हमेशा एक अपरिमित समुच्चय बनाएगा।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: ओइलर रूप में लिखना।
$\cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta}$. अतः A के अवयव $e^{i 2n\pi/5}$ और B के अवयव $e^{i 2n/5}$ हैं, जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
Step 2: समुच्चय A की आवर्तता।
A में कोण $\dfrac{2n\pi}{5}$ है। $n$ को $n+5$ करने पर कोण $2\pi$ बढ़ता है, जो वही बिंदु देता है, इसलिए मान दोहराते हैं।
Step 3: A परिमित है।
हर 5 पूर्णांक पर मान दोहराते हैं, इसलिए A में केवल 5 भिन्न अवयव (इकाई के पाँचवें मूल) हैं, अर्थात A परिमित है।
Step 4: समुच्चय B की जाँच।
B में कोण $\dfrac{2n}{5}$ है (बिना $\pi$ के)। दो मान बराबर तभी होंगे जब \[ \frac{2n_1}{5} - \frac{2n_2}{5} = 2k\pi \Rightarrow n_1 - n_2 = 5k\pi \]
Step 5: अपरिमेयता का तर्क।
$\pi$ अपरिमेय है, इसलिए दो पूर्णांकों का अंतर $5k\pi$ के बराबर तभी होगा जब $k = 0$ यानी $n_1 = n_2$. अतः सभी $n$ के लिए मान भिन्न हैं।
Step 6: निष्कर्ष।
B के अवयव कभी नहीं दोहराते, इसलिए B अपरिमित है। अतः A परिमित परन्तु B अपरिमित, विकल्प (A)।
\[ \boxed{\text{A परिमित है परन्तु B अपरिमित है।}} \]