Question

जहाँ समाकलन सीमा −1 से 2 है, \(\int_{-1}^{2} \min\{1 - x, 1 - x^3\} \, dx\) का मान क्या है?

• A. −1
• B. 0
• C. 1
• D. 2

Hint:

जब भी दो वक्रों का तुलनात्मक समाकलन करना हो, तो हमेशा दोनों वक्रों को एक रफ़ आलेख (graph) पर खींचें।
इससे न्यूनतम या अधिकतम भाग का निर्धारण अत्यधिक सरल और त्रुटिहीन हो जाता है।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: प्रतिच्छेदन बिंदु खोजना।
$\min\{1-x,\,1-x^3\}$ का समाकलन करने के लिए पहले देखें कहाँ दोनों बराबर हैं, \[ 1-x = 1-x^3 \Rightarrow x^3 - x = 0 \Rightarrow x = -1, 0, 1 \]
Step 2: अंतराल [-1,0]।
$x = -0.5$ पर $1-x^3 = 1.125 < 1.5 = 1-x$, इसलिए यहाँ न्यूनतम $1-x^3$ है।
Step 3: अंतराल [0,1]।
$x = 0.5$ पर $1-x = 0.5 < 0.875 = 1-x^3$, इसलिए यहाँ न्यूनतम $1-x$ है।
Step 4: अंतराल [1,2]।
$x = 1.5$ पर $1-x^3 = -2.375 < -0.5 = 1-x$, इसलिए यहाँ न्यूनतम $1-x^3$ है।
Step 5: टुकड़ों का समाकलन।
\[ \int_{-1}^{0}(1-x^3)dx = \frac{5}{4},\quad \int_{0}^{1}(1-x)dx = \frac{1}{2},\quad \int_{1}^{2}(1-x^3)dx = -\frac{11}{4} \]
Step 6: योग।
\[ \frac{5}{4} + \frac{2}{4} - \frac{11}{4} = -\frac{4}{4} = -1 \] यही विकल्प (A) है।
\[ \boxed{\text{-1}} \]