एक 2×2 आव्यूह A जिसके अवयव वास्तविक संख्याएं हैं, के लिए गुणनफल AA · · · A (m times), जबकि m एक धनात्मक पूर्णांक है, को Am द्वारा निरूपित कीजिए। मान लीजिए कि x0 = 0, x1 = 1 है तथा सभी n $\ge$ 2 के लिए xn = xn−1 + xn−2 है। परिभाषित कीजिए:
\[ A_n = \begin{bmatrix} x_{n+1} & x_n \\ x_n & x_{n-1} \end{bmatrix}, \text{ सभी } n \ge 1 \text{ के लिए।} \]
निम्न में से कौन सा कथन सभी m $\ge$ 3 के लिए सत्य है?

Question

Let the foot of the perpendicular from the point $ (1, 2, 4) $ on the line $ \frac{x+2}{4} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{3} $ be $ P $. Then the distance of $ P $ from the plane $ 3x + 4y + 12z + 23 = 0 $ is:

Answer 1

Step 1: प्रश्न को समझना।
यहाँ फिबोनाची अनुक्रम (Fibonacci sequence) से बना आव्यूह $A_n$ दिया है और हमें वह कथन ढूँढना है जो हर $m \ge 3$ के लिए सत्य हो। चलिए सीधे आव्यूह की पुनरावृत्ति (recurrence) से इसे सिद्ध करते हैं।
Step 2: आधार आव्यूह लिखना।
चूँकि $x_0=0,\ x_1=1,\ x_2=1$, अतः \[ A_1 = \begin{bmatrix} x_2 & x_1 \\ x_1 & x_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}. \] यह प्रसिद्ध फिबोनाची आव्यूह (Q-matrix) है।
Step 3: घातों को पहचानना।
सीधी गणना से $A_1^2=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}=A_2$ और $A_1^3=A_3$ प्राप्त होता है, अर्थात गणितीय आगमन (induction) से $A_1^m = A_m$ हर $m\ge1$ के लिए।
Step 4: अभिलाक्षणिक समीकरण निकालना।
$A_1$ का चरित्र-समीकरण (characteristic equation) $\lambda^2-\lambda-1=0$ है, क्योंकि ट्रेस $=1$ और सारणिक (determinant) $=-1$।
Step 5: कैली-हैमिल्टन प्रमेय लगाना।
कैली-हैमिल्टन प्रमेय (Cayley-Hamilton theorem) के अनुसार आव्यूह अपने ही समीकरण को संतुष्ट करता है: \[ A_1^2 - A_1 - I = O. \]
Step 6: अंतिम संबंध स्थापित करना।
दोनों ओर $A_1^{m-2}$ से गुणा करने पर ($m\ge3$): \[ A_1^m - A_1^{m-1} - A_1^{m-2} = O \implies A_1^m = A_1^{m-1} + A_1^{m-2}. \] यही हर $m\ge3$ के लिए सही कथन है।
\[ \boxed{\text{$A_1^m = A_1^{m-1} + A_1^{m-2}$}} \]

Show Hint

The Correct Option is A

Solution and Explanation

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