Question

दो पूर्णांक r व l लीजए जिनके लिए r $\ge$ l $\ge$ 3 है। ऐसे कितने फलन f : {1, 2, . . . r} $\rightarrow$ {1, 2, . . . r} हैं जिनके लिए f(1), f(2), . . . , f(l) सर्वथा अलग-अलग हैं?

• A. \(r^{r-l+1}(r - 1)(r - 2)\dots(r - l + 1)\)
• B. \(r^{r-l}(r - 1)(r - 2)\dots(r - l + 1)\)
• C. \(r(r - 1)(r - 2)\dots(r - l + 1)\)
• D. \(r^r\)

Hint:

जब डोमेन के कुछ विशिष्ट अवयवों को भिन्न मान देने हों, तो पहले उन्हें 'एक-एक' (one-one) नियम से व्यवस्थित करें और शेष बचे अवयवों को स्वतंत्र रूप से सह-डोमेन के आकार की घात के रूप में व्यवस्थित करें।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: समस्या को बाँटना।
फलन $f$ का डोमेन और सह-डोमेन दोनों में $r$ अवयव हैं। शर्त यह है कि पहले $l$ चित्र $f(1),\dots,f(l)$ सब अलग-अलग हों। बाकी $(r-l)$ पर कोई शर्त नहीं।
Step 2: पहले l अवयव चुनना।
ये भिन्न होने चाहिए, इसलिए ये $r$ में से क्रम सहित चुने जाएँगे।
Step 3: क्रमचय गिनना।
$f(1)$ के लिए $r$ तरीके, $f(2)$ के लिए $r-1$, और इसी तरह $f(l)$ के लिए $r-l+1$ तरीके। गुणनफल \[ r(r-1)(r-2)\dots(r-l+1) \]
Step 4: शेष अवयव।
बचे $(r-l)$ अवयवों में से हर एक सह-डोमेन के किसी भी $r$ मान पर जा सकता है, इसलिए \[ r^{r-l} \] तरीके।
Step 5: कुल मिलाना।
\[ r(r-1)\dots(r-l+1)\times r^{r-l} \] में $r \times r^{r-l} = r^{r-l+1}$ रखने पर \[ r^{r-l+1}(r-1)(r-2)\dots(r-l+1) \]
Step 6: निष्कर्ष।
यह विकल्प (A) से मेल खाता है।
\[ \boxed{\text{r^{r-l+1}(r-1)(r-2)...(r-l+1)}} \]