Question

यदि रेखा l1 बिन्दु(1, 1, 1) व बिन्दु(3, 1, 3) को जोड़ती है तथा रेखा l2 बिन्दु(0, 2, −1) व बिन्दु(2, 0, 3) को जोड़ती है, तो रेखा l1 तथा l2 के बीच का कोण क्या है?

• A. 30o
• B. 60o
• C. 45o
• D. 90o

Hint:

जब भी रेखाओं के बीच का कोण निकालना हो, पहले उनके दिशा सदिशों \(\vec{d_1}\) और \(\vec{d_2}\) को सरलतम रूप में लिखें।
उदाहरण के लिए, यहाँ \(\vec{d_1}\) को \(\hat{i} + \hat{k}\) और \(\vec{d_2}\) को \(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}\) लेकर भी समान उत्तर आसानी से प्राप्त किया जा सकता था।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: कोण का सूत्र।
दो रेखाओं के दिशा सदिशों के बीच का कोण \[ \cos\theta = \frac{\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}}{|\vec{d_1}||\vec{d_2}|} \] से मिलता है।
Step 2: l1 का दिशा सदिश।
बिंदु $(1,1,1)$ और $(3,1,3)$ से \[ \vec{d_1} = 2\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k},\quad |\vec{d_1}| = 2\sqrt{2} \]
Step 3: l2 का दिशा सदिश।
बिंदु $(0,2,-1)$ और $(2,0,3)$ से \[ \vec{d_2} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k},\quad |\vec{d_2}| = 2\sqrt{6} \]
Step 4: अदिश गुणनफल।
\[ \vec{d_1}\cdot\vec{d_2} = 4 + 0 + 8 = 12 \]
Step 5: cos मान।
\[ \cos\theta = \frac{12}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{6})} = \frac{12}{8\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Step 6: निष्कर्ष।
$\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ से $\theta = 30^\circ$, यही विकल्प (A) है।
\[ \boxed{\text{30 डिग्री}} \]