Question

यदि p(x) एक ऐसा द्विघातीय बहुपद है जिसके लिए p(1) = p(−1) = 0 है, तो p(x) में x का गुणांक क्या है?

• A. 0
• B. 1
• C. −1
• D. 2

Hint:

जब भी किसी द्विघात समीकरण के मूल \(\alpha\) और \(\beta\) एक-दूसरे के ऋणात्मक हों (\(\alpha = -\beta\)), तो मूलों का योग (\(\alpha + \beta\)) शून्य होता है।
चूंकि मूलों का योग \(-b/a\) होता है, इसलिए \(x\) का गुणांक (\(b\)) हमेशा शून्य होगा।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: दिए गए तथ्य।
$p(x)$ एक द्विघातीय बहुपद है और $p(1) = 0$, $p(-1) = 0$ है, यानी $1$ और $-1$ इसके मूल हैं।
Step 2: मूल से बहुपद बनाना।
यदि मूल $\alpha, \beta$ हों तो बहुपद $p(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)$ रूप में लिखा जा सकता है, यहाँ $a \neq 0$.
Step 3: मूल रखना।
\[ p(x) = a(x - 1)(x + 1) \]
Step 4: गुणनफल खोलना।
\[ p(x) = a(x^2 - 1) = ax^2 + 0\cdot x - a \]
Step 5: मानक रूप से तुलना।
$p(x) = ax^2 + bx + c$ से तुलना करने पर $x$ का गुणांक $b = 0$ आता है।
Step 6: निष्कर्ष।
दोनों मूल बराबर परिमाण और विपरीत चिह्न के हैं, इसलिए उनका योग शून्य और $x$ का गुणांक $0$ है।
\[ \boxed{\text{0}} \]