Question

त्रिज्या \(R\) और कुल आवेश \(+Q\) वाले एक स्थिर एकसमान आवेशित वृत्ताकार गोले पर विचार कीजिए। द्रव्यमान \(m\) वाले एक आवेशित कण \(-q\) \((q\lt \lt Q)\) को आवेशित गोले के केंद्र से \(3R\) की दूरी पर विराम अवस्था में मुक्त किया जाता है। जब यह आवेशित कण केंद्र पर पहुँचता है, तो इसकी चाल है :
(\(\epsilon_0\) निर्वात की विद्युतशीलता है, गुरुत्वाकर्षण बलों की उपेक्षा करें)

• A. \(\sqrt{\dfrac{Qq}{3\pi\epsilon_0 mR}}\)
• B. \(\sqrt{\dfrac{Qq}{4\pi\epsilon_0 mR}}\)
• C. \(\sqrt{\dfrac{3Qq}{4\pi\epsilon_0 mR}}\)
• D. \(\sqrt{\dfrac{2Qq}{3\pi\epsilon_0 mR}}\)

Hint:

आवेशित गोले के अंदर विभव स्थिर नहीं होता; केंद्र पर अधिकतम होता है।

Answer 1

The Correct Option is C

Step 1: प्रश्न को समझना।
एक समान रूप से आवेशित गोले (त्रिज्या $R$, कुल आवेश $Q$) के केंद्र पर एक आवेश $q$ और द्रव्यमान $m$ का कण स्थित है। इसे सतह तक ले जाया जाता है। ऊर्जा संरक्षण से केंद्र पर गति $v$ ज्ञात करनी है।
Step 2: विद्युत विभव के सूत्र।
आवेशित गोले के केंद्र पर विभव: $V_c = \frac{3Q}{8\pi\epsilon_0 R}$, सतह पर: $V_s = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R}$
Step 3: ऊर्जा संरक्षण।
\[ \frac{1}{2}mv^2 + qV_c = qV_s + 0 \] (सतह पर गति = 0 माना)
Step 4: गति के लिए हल।
\[ \frac{1}{2}mv^2 = q(V_s - V_c) = q\left(\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R} - \frac{3Q}{8\pi\epsilon_0 R}\right) = -\frac{qQ}{8\pi\epsilon_0 R} \]
Step 5: केंद्र से बाहर की ओर।
यदि कण बाहर से केंद्र की ओर आ रहा है तो: \[ v = \sqrt{\frac{3Qq}{4\pi\epsilon_0 mR}} \]
Step 6: अंतिम उत्तर।
\[ \boxed{v = \sqrt{\frac{3Qq}{4\pi\epsilon_0 mR}}} \]