Question

फलन f : R $\rightarrow$ R को f(x) = sin2(7x) − sin2(5x) से परिभाषित करें। निम्न में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?

• A. f अंतराल \(\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)\) पर वर्धमान है।
• B. f(x) $>$ 0, सभी x $\in$ \(\left(0, \frac{\pi}{48}\right)\) के लिए।
• C. f\(\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\) + f(x) = 0, सभी x $\in$ R के लिए।
• D. f\(\left(\frac{\pi}{12}\right)\) = 0

Hint:

जब ऐसे बहुविकल्पीय प्रश्नों में तीन विकल्प (B, C और D) आसानी से और सीधे सिद्ध हो जाएं, तो समय बचाने के लिए शेष बचे विकल्प को सीधे असत्य घोषित कर देना सबसे सटीक रणनीति है।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: फलन को सरल बनाना।
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$ से \[ f(x) = \sin(12x)\sin(2x) \]
Step 2: कथन (D) जाँचना।
\[ f\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin(\pi)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0 \] अतः (D) सत्य है।
Step 3: कथन (B) जाँचना।
$x \in (0, \pi/48)$ पर $2x \in (0,\pi/24)$ और $12x \in (0,\pi/4)$, दोनों ज्या धनात्मक, इसलिए $f(x) > 0$. (B) सत्य है।
Step 4: कथन (C) जाँचना।
$\sin(\theta + 7\pi/2) = -\cos\theta$ और $\sin(\theta + 5\pi/2) = \cos\theta$ से \[ f\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = \cos^2(7x) - \cos^2(5x) = -f(x) \] अतः $f(x+\pi/2)+f(x)=0$, (C) सत्य है।
Step 5: कथन (A) की बारी।
चूँकि (B), (C), (D) तीनों सत्य सिद्ध हो गए, असत्य कथन (A) ही होगा; इतने बड़े अंतराल $(3\pi/2, 2\pi)$ पर $f$ लगातार वर्धमान नहीं रह सकता क्योंकि $\sin(12x)\sin(2x)$ तेज़ी से दोलन करता है।
Step 6: निष्कर्ष।
असत्य कथन (A) है, जो प्रश्न का उत्तर है।
\[ \boxed{\text{f अंतराल (3pi/2, 2pi) पर वर्धमान है।}} \]