Question

मान लीजिए कि n = 2026 है। यदि 49n + 41n + 10n को 100 से भाग दें तो शेषफल कितना होगा?

• A. 2
• B. 1
• C. 90
• D. 49

Hint:

जब भी किसी संख्या के अंत में 1 हो (जैसे 41), तो उसकी \(5k\) घातांक हमेशा अंत में 01 देगी।
उसी प्रकार, यदि अंत में 9 हो (जैसे 49), तो सम घातांक हमेशा अंत में 01 देगी। इस नियम से ऐसी गणनाएँ बहुत आसान हो जाती हैं।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: प्रश्न को समझना।
हमें $49^n+41^n+10^n$ का $100$ से भाग पर शेषफल चाहिए, जहाँ $n=20^{26}$ बहुत बड़ी संख्या है। मॉड्यूलो $100$ (modulo $100$) में काम करेंगे।
Step 2: $n$ की विशेषता।
$n=20^{26}$ सम भी है और $5$ से भी विभाज्य है, क्योंकि $20=2^2\cdot5$ में अनेक गुणनखंड $2$ और $5$ हैं।
Step 3: $10^n$ का पद।
चूँकि $n\ge2$, $10^n$ में अंत में दो से अधिक शून्य आते हैं, अतः $10^n \equiv 0 \pmod{100}$।
Step 4: $49^n$ का पद।
$49^2=2401\equiv1\pmod{100}$। $n$ सम है, इसलिए $49^n=(49^2)^{n/2}\equiv1\pmod{100}$।
Step 5: $41^n$ का पद।
$41$ की घातों का चक्र (cycle) $5$ का है: $41^5\equiv1\pmod{100}$। चूँकि $n$, $5$ से विभाज्य है, $41^n\equiv1\pmod{100}$।
Step 6: योग और अंतिम शेषफल।
कुल मिलाकर \[ 49^n+41^n+10^n \equiv 1+1+0 = 2 \pmod{100}. \] अतः शेषफल $2$ है।
\[ \boxed{\text{$2$}} \]