Question

मान लीजिए कि a1, a2, a3, . . . धनात्मक पूर्णांकों की एक गुणोत्तर श्रेणी है। यदि a1 = 3 है, तथा सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए an+2 − 2an = an+1 है, तो a1 + a2 + a3 + a4 + a5 का मान क्या होगा?

• A. 93
• B. 120
• C. 255
• D. 99

Hint:

जब भी अनुक्रम के कर्मागत पदों का संबंध दिया हो (जैसे \(a_{n+2} - a_{n+1} - 2a_n = 0\)), तो गुणोत्तर श्रेणी के लिए इसे सीधे \(r^2 - r - 2 = 0\) लिखकर सार्वअनुपात तुरंत ज्ञात किया जा सकता है।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: प्रश्न को समझना।
एक गुणोत्तर श्रेणी (geometric progression) दी है जिसका पहला पद $a_1=3$ है, और दिया है $a_{n+2}-2a_n=a_{n+1}$। पहले सार्वअनुपात (common ratio) निकालेंगे।
Step 2: पदों को $r$ में लिखना।
चूँकि $a_n=3\,r^{n-1}$, दिए संबंध में रखने पर हर पद में $3r^{n-1}$ उभयनिष्ठ आ जाता है।
Step 3: समीकरण को सरल करना।
उभयनिष्ठ पद हटाने पर \[ r^2 - 2 = r \implies r^2 - r - 2 = 0. \]
Step 4: मूल निकालना।
गुणनखंड करने पर $(r-2)(r+1)=0$, अतः $r=2$ या $r=-1$। श्रेणी धनात्मक पूर्णांकों की है, इसलिए $r=2$ ही मान्य है।
Step 5: पाँच पद लिखना।
पद हैं $3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48$।
Step 6: योगफल ज्ञात करना।
सूत्र $S_5=\dfrac{a_1(r^5-1)}{r-1}=\dfrac{3(32-1)}{1}=3\times31=93$। सीधे जोड़ने पर भी $3+6+12+24+48=93$।
\[ \boxed{\text{$93$}} \]