Question

એક પરિમાણમાં સ્પ્રિંગ-માસ સરળ આવર્તિત દોલક છે. કણનું દ્રવ્યમાન \( m \) અને સ્પ્રિંગ સ્થિરાંક \( k \) છે. \( x-v \) પ્લેન પર જો \( v \)નો \( x \)ના વિધેય તરીકેનો ગ્રાફ વર્તુળ હોય, તો સાચો વિકલ્પ છે:

• A. \( k = \sqrt{m}\)
• B. \( k = 1/m \)
• C. \( k = m \)
• D. \( k = m^2 \)

Hint:

ફેઝ સ્પેસમાં (Phase space) શુદ્ધ વર્તુળ ત્યારે જ મળે જ્યારે સ્કેલિંગ સમાન હોય, જે \( k=m \) વખતે થાય છે!

Answer 1

The Correct Option is C

Step 1: ​Energy equation.
\( \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2 = E \Rightarrow \frac{x^2}{2E/k} + \frac{v^2}{2E/m} = 1 \) (ellipse).
Step 2: ​Circle condition.
For ​circle ​both semi-axes equal: \( \frac{2E}{k} = \frac{2E}{m} \Rightarrow k = m \).
Step 3: ​Final.
\[ \boxed{k = m} \]