Question

एकसमान घनत्व का एक बेलनाकार कॉर्क \(\rho_1\) घनत्व के एक द्रव में तैरता है। यदि कॉर्क को थोड़ा दबाकर छोड़ दिया जाए, तो यह आवर्तकाल \(T\) के साथ सरल आवर्त गति करता है। यदि वही कॉर्क \(\rho_2\) घनत्व के किसी अन्य द्रव में तैरता है, तो इसी प्रकार के दोलन का आवर्तकाल \(2T\) होता है। \(\rho_2/\rho_1\) का मान है:

• A. \(1/2\)
• B. \(1/4\)
• C. \(4\)
• D. \(2\)

Hint:

तैरते पिंड का आवर्तकाल द्रव के घनत्व के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

Answer 1

The Correct Option is B

Step 1: प्रश्न को समझना।
एक ठोस गोला द्रव में तैर रहा है। उसे थोड़ा दबाकर छोड़ने पर वह SHM करता है। हमें $\rho_2/\rho_1$ का अनुपात ज्ञात करना है जहाँ $T_1$ और $T_2$ दो भिन्न घनत्वों $\rho_1$ और $\rho_2$ के लिए दोलन काल हैं और $T_2 = 2T_1$ दिया है।
Step 2: तैरते पिंड के SHM का आवर्तकाल।
किसी तैरते पिंड के लिए: \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\rho_L A g}} \] जहाँ $\rho_L$ द्रव का घनत्व है।
Step 3: $m$ और $A$ को गोले की त्रिज्या से जोड़ना।
$m = \rho_s V_s$ और आर्किमिडीज़ नियम से $\rho_s V_s = \rho_L V_{\text{submerged}}$। सरल रूप में: \[ T \propto \frac{1}{\sqrt{\rho_L}} \]
Step 4: अनुपात लेना।
\[ \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}} \]
Step 5: मान प्रतिस्थापित करना।
$T_2 = 2T_1$ रखने पर: \[ 2 = \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}} \implies \frac{\rho_1}{\rho_2} = 4 \]
Step 6: अंतिम उत्तर।
\[ \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1}{4} \] \[ \boxed{\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1}{4}} \]