Question

एक विमीय सरल आवर्त कंपन करने वाले एक स्प्रिंग-द्रव्यमान दोलक पर विचार कीजिए। कण का द्रव्यमान \(m\) kg है और स्प्रिंग नियतांक \(k\; Nm^{-1}\) है। किसी दिए गए क्षण पर, स्प्रिंग का विस्तार \(x\) मीटर है और कण की चाल \(v\; ms^{-1}\) है। \(x-v\) तल पर, यदि \(x\) के फलन के रूप में \(v\) का आलेख एक वृत्त है, तो सही विकल्प है :

• A. \(k=m^2\)
• B. \(k=\sqrt{m}\)
• C. \(k=\frac{1}{m}\)
• D. \(k=m\)

Hint:

SHM में \(x-v\) ग्राफ सामान्यतः दीर्घवृत्त होता है। यदि दोनों अक्षों के गुणांक समान हों, तभी वह वृत्त बनता है।

Answer 1

The Correct Option is C

Step 1: प्रश्न को समझना।
एक स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय में द्रव्यमान $m$ और स्प्रिंग नियतांक $k$ है। $x$-$v$ ग्राफ वृत्त बनाता है। हमें वह शर्त ज्ञात करनी है जिसके लिए यह ग्राफ वृत्त होगा, न कि दीर्घवृत्त।
Step 2: SHM में $x$ और $v$ का संबंध।
SHM में: $x = A\sin(\omega t)$, $v = A\omega\cos(\omega t)$ \[ \left(\frac{x}{A}\right)^2 + \left(\frac{v}{A\omega}\right)^2 = 1 \] यह एक दीर्घवृत्त है।
Step 3: वृत्त की शर्त।
$x$-$v$ ग्राफ तब वृत्त होगा जब दोनों अर्ध-अक्ष समान हों: \[ A = A\omega \implies \omega = 1\,\text{rad/s} \]
Step 4: $\omega$ और $k$, $m$ का संबंध।
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = 1 \implies \frac{k}{m} = 1 \]
Step 5: निष्कर्ष।
\[ k = m \] यह शर्त तब पूरी होती है जब $k$ का मान SI मात्रक में $m$ के बराबर हो।
Step 6: अंतिम उत्तर।
\[ \boxed{k = m} \]