Question

एक तल में स्थित सभी वृत्तों के समुच्चय को C से निरूपित कीजिए। उपसमुच्चय R $\subseteq$ C $\times$ C को निम्न द्वारा परिभाषित कीजिए:
R = {(C1, C2) $\in$ C $\times$ C $|$ C1 व C2 एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं}.
निम्न में से कौन सा कथन सत्य है?

• A. R एक स्वतुल्य व सममित संबंध है किन्तु संक्रामक नहीं है।
• B. R एक स्वतुल्य व संक्रामक संबंध है किन्तु सममित नहीं है।
• C. R एक सममित व संक्रामक संबंध है किन्तु स्वतुल्य नहीं है।
• D. R एक संबंध नहीं है।

Hint:

ज्यामितीय संबंधों (जैसे प्रतिच्छेदन, लम्बवत होना, स्पर्श करना आदि) में संक्रामकता आमतौर पर लागू नहीं होती है, क्योंकि दो अलग-अलग वस्तुएं किसी तीसरी वस्तु से स्वतंत्र रूप से जुड़ी हो सकती हैं बिना आपस में जुड़े।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: संबंध को समझना।
समतल के सभी वृत्तों के समुच्चय पर संबंध R तब बनता है जब दो वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करें। हमें इसकी तीन विशेषताएँ जाँचनी हैं।
Step 2: स्वतुल्यता।
कोई वृत्त स्वयं से संपाती होता है, इसलिए $(C_1, C_1) \in R$, अर्थात R स्वतुल्य है।
Step 3: सममितता।
यदि $C_1$, $C_2$ को काटता है तो स्पष्ट है कि $C_2$ भी $C_1$ को काटता है, इसलिए $(C_1,C_2)\in R \Rightarrow (C_2,C_1)\in R$, अर्थात R सममित है।
Step 4: संक्रामकता की जाँच।
मान लें $C_1$, $C_2$ को और $C_2$, $C_3$ को काटता है। क्या $C_1$ और $C_3$ ज़रूरी रूप से कटेंगे-
Step 5: प्रतिउदाहरण।
$C_1$ बाईं ओर का छोटा वृत्त, $C_3$ दाईं ओर का दूर का छोटा वृत्त, और $C_2$ एक बड़ा वृत्त जो दोनों को छूता है। यहाँ $C_1$ और $C_3$ नहीं कटते, इसलिए R संक्रामक नहीं है।
Step 6: निष्कर्ष।
R स्वतुल्य और सममित है पर संक्रामक नहीं, यही विकल्प (A) है।
\[ \boxed{\text{R एक स्वतुल्य व सममित संबंध है किन्तु संक्रामक नहीं है।}} \]