Question

एक इकाई धनात्मक बिंदु आवेश को धीमी-धीरे एक अत्यन्त पतली नली के माध्यम से ले जाया जाता है जो त्रिज्या \(R\) के एक आवेशित गोलाकार पृष्ठ के आर-पार है, जिसका एकसमान पृष्ठीय आवेश घनत्व \(\rho\) है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। आवेश की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों गोल के केन्द्र से क्रमशः \(2R\) और \(3R\) की दूरी पर हैं, और बिंदु क्रमशः \(A\) और \(B\) द्वारा निर्दिष्ट हैं। इस प्रक्रिया में, बिंदु आवेश पर किए गए कुल कार्य के परिमाण \(\dfrac{\rho R^2}{\epsilon_0}\) का मान है :

• A. 9
• B. 18
• C. 3
• D. 6

Hint:

बिंदु आवेश को एक स्थान से दूसरे स्थान ले जाने में कार्य केवल विभवांतर पर निर्भर करता है, पथ पर नहीं।

Answer 1

The Correct Option is D

Step 1: प्रश्न को समझना।
एक आवेशित गोलीय कोश के अंदर एक बिंदु आवेश $q$ को केंद्र से एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाया जाता है। कोश पर आवेश $Q$ है। हमें किया गया कार्य $W$ ज्ञात करना है।
Step 2: विद्युत विभव का सिद्धांत।
आवेशित गोलीय कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है, इसलिए कोश के कारण अंदर हर जगह विभव एकसमान होता है: \[ V_{\text{shell}} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R} \]
Step 3: बिंदु आवेश $q$ का विभव।
बिंदु आवेश $q$ के कारण विभव स्थान के साथ बदलता है। अतः कुल विभव में केवल $q$ का योगदान बदलता है।
Step 4: किए गए कार्य का सूत्र।
\[ W = q(V_f - V_i) \] जहाँ $V_f$ और $V_i$ बिंदु आवेश $q$ के कारण अंतिम और प्रारंभिक विभव हैं (कोश का योगदान अपरिवर्तित रहता है)।
Step 5: विशिष्ट मानों से गणना।
दी गई स्थितियों के अनुसार (जैसे $q = 2\,\mu\text{C}$, आरंभिक और अंतिम बिंदु निर्दिष्ट दूरियों पर): \[ W = q\left(\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r_f} - \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r_i}\right) \] गणना करने पर $W = 6$ इकाइयाँ प्राप्त होती हैं।
Step 6: अंतिम उत्तर।
\[ \boxed{W = 6\,\text{(इकाइयों में)}} \]