Question

बिन्दु A(\(4\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}\)), B(\(2\hat{j}\)) तथा C(\(-4\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}\)) के संदर्भ में निम्न कथनों में से कौन सा कथन सत्य है?

• A. A, B व C समरैखिक हैं।
• B. \(\vec{AB} + 3\vec{BC}\) व \(\vec{AC}\) लम्बवत हैं।
• C. \(\vec{AB} \times \vec{BC} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}\).
• D. \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\) तथा \(\vec{CA}\) परस्पर लम्बवत हैं।

Hint:

समरैखिकता की जाँच करने के लिए हमेशा \(\vec{AB}\) और \(\vec{BC}\) निकालें।
यदि एक सदिश दूसरे का अदिश गुणज हो (\(\vec{AB} = \lambda \vec{BC}\)), तो बिन्दु हमेशा समरैखिक होते हैं।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: स्थिति सदिश लिखना।
\[ \vec{OA} = 4\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k},\ \vec{OB} = 2\hat{j},\ \vec{OC} = -4\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k} \]
Step 2: समरैखिकता की कसौटी।
A, B, C समरैखिक होंगे यदि $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ परस्पर समानांतर हों, यानी एक दूसरे का अदिश गुणज हों।
Step 3: AB निकालना।
\[ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = -4\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k} \]
Step 4: BC निकालना।
\[ \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = -4\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k} \]
Step 5: तुलना।
दोनों सदिश बिल्कुल समान हैं, $\vec{AB} = \vec{BC}$, यानी $\lambda = 1$ के साथ समानांतर भी और बिंदु B उभयनिष्ठ भी।
Step 6: निष्कर्ष।
इसलिए A, B और C एक ही रेखा पर स्थित हैं, अर्थात समरैखिक हैं, विकल्प (A)।
\[ \boxed{\text{A, B व C समरैखिक हैं।}} \]