Question

એક સૌર મંડળમાં, ત્રિજ્યા \( R \)વાળા વર્તુળાકાર કક્ષાને અનુસરતા ગ્રહના પરિભ્રમણનો સમયગાળો આના સમપ્રમાણમાં છે:

• A. \( R^3 \)
• B. \( R^{1/2} \)
• C. \( R^{3/2} \)
• D. \( R^2 \)

Hint:

કેપ્લરનો ત્રીજો નિયમ 'હાર્મોનિક લો' તરીકે પણ ઓળખાય છે, જે ત્રિજ્યા અને સમયગાળા વચ્ચેનો ગાણિતિક સંબંધ દર્શાવે છે.

Answer 1

The Correct Option is C

Step 1: ​Orbital mechanics.
\( \frac{GMm}{R^2} = \frac{mv^2}{R} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \).
Step 2: ​Period.
\( T = \frac{2\pi R}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}} \).
Step 3: ​Final.
\[ T \propto R^{3/2} \] \[ \boxed{T \propto R^{3/2}} \]