नाभिक से दूरी \((r)\) के साथ तरंग फलन \((\psi_r)\) के निम्नलिखित योजनामूलक आलेखों पर विचार कीजिए। वह आकृति जो कक्षक में दो त्रिज्यीय नोड्स (radial nodes) को प्रदर्शित करती है, है :
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Radial node graph में वही बिंदु है जहाँ wave function का मान शून्य हो।
Step 1: Wave Function के Quantum Numbers पहचानना। Wave function $\psi_{3,2,1}$ में तीन quantum numbers हैं: principal quantum number $n = 3$, azimuthal quantum number $l = 2$, magnetic quantum number $m_l = 1$। Step 2: Orbital की पहचान। $n = 3$ और $l = 2$ का अर्थ है कि यह $3d$ orbital है। $m_l = 1$ एक विशिष्ट $3d$ orbital को दर्शाता है। Step 3: Radial Nodes की परिभाषा। Radial nodes वे spherical surfaces होते हैं जहाँ wave function $\psi = 0$ हो जाता है (angular part के कारण नहीं)। ये $r$ के function में शून्य होते हैं। Step 4: Radial Nodes का Formula। किसी orbital में radial nodes की संख्या का formula है: \[ \text{Radial nodes} = n - l - 1 \] यह formula quantum mechanics से व्युत्पन्न होता है। Step 5: गणना। $\psi_{3,2,1}$ के लिए: \[ \text{Radial nodes} = 3 - 2 - 1 = 0 \] इसलिए $3d$ orbital में कोई radial node नहीं होता। Step 6: Angular Nodes की जानकारी। $3d$ orbital में angular nodes $= l = 2$ होते हैं। कुल nodes $= n - 1 = 2$। इसलिए $2$ angular nodes और $0$ radial nodes होते हैं। Step 7: निष्कर्ष। $\psi_{3,2,1}$ ($3d$ orbital) में radial nodes की संख्या $= 3 - 2 - 1 = 0$ है। उत्तर C है। \[ \boxed{C \text{ (0 radial nodes)}} \]
